理论力学考试题

试题

本次考试共有6题，总分为100分。仔细阅读题目，解答请写在答题纸上，不够请附页。

一、简答题（每题5分，共40分）

（5分）考虑一个质点在势能的一维空间内运动，其中是常数。请写出该质点的函数，并给出相应的力学守恒量。
（5分）考虑一个简谐振子，其势能为，质量为，弹簧常数为。请写出该简谐振子的拉格朗日函数，并求出其运动方程。该系统是否具有守恒量？如果有，请写出该守恒量表达式。
（5分）对于一个保守力系统，，请根据理论力学的方法，给出其角动量守恒的推导过程。请使用公式表达。
（5分）考虑一质点在势能函数为的二维平面运动，请问该系统的坐标自由度数是多少？其运动轨迹是否为平面内的闭合曲线？请给出分析/
（5分）一个质量为的质点，处于一个势能为的二维平面时空中，其中为弹簧常数。请采用合适的广义坐标来给出系统的拉格朗日函数，并画出势能函数等值线。
（5分）考虑一个质点在势能场中的运动，其中为常数，为整数。定义坐标缩放变换，时间缩放变换。求满足相似原理的与之间的关系式，并说明时，运动周期能否保持不变。
（5分）请用理论力学所学内容，说明对称和守恒的关系。
（5分）奥陌陌是人类探测到的首个来自太阳系外的星际天体。它于2017年10月18日被泛星1号望远镜发现。请根据所学习的知识，说明这个天体的运行轨道的形状，为什么说这个天体是来自太阳系外？

二.（10分）设势能为零的空间，从相同的时空点到，请说明质点所走过的路径作用量取极值。

三.（10分）一个质量为的小球，被一条轻质无质弦（质量可忽略）系住，弦的一段固定在原点，另一端系在小球上。假设小球在均匀重力场（加速度为）中运动，请选择合适的广义坐标，写出小球的拉格朗日函数，并利用拉格朗日方程得到其运动方程。

四.（10分）考虑一个质量为的物点，受到势能的作用，其中和为常数。请写出该系统的拉格朗日函数，并求解运动方程，给出该系统的运动轨迹方程。

五.（15分）考虑一个质量为的物点，受到势能的作用。请写出该系统的哈密顿函数，并在相空间中画出几条不同能量的等能线。给定一组初条件，求出质点的运动轨迹方程。

六.（15分）六个质量都为的小球布置在边长为的正八面体的顶点上，这些小球之间用质量可忽略的轻杆连接。求这个系统相对于通过其几何中心过定轴的转动惯量张量。